Анализ потери устойчивости сосудистого графта малого диаметра

Введение

С инженерной точки зрения значительная часть медицинских изделий, применяемых в сердечно-сосудистой хирургии, представляет собой тонкостенные цилиндрические оболочки, что в целом обусловлено схожим «трубчатым» строением кровеносной системы [1]. К подобным изделиям можно отнести протезы сосудов, коронарные и периферические стенты, транс­катетерные протезы клапанов сердца (частично) и другие малоинвазивные системы [2, 3]. С точки зрения проектирования представление описанных объектов в виде полых цилиндров видится рациональным и существенно облегчает проведение расчетов [4]. Однако усложняющаяся геометрия, комплексная макро- и микроструктура медицинских изделий, нелинейность материалов зачастую не позволяют аналитически решать задачи прочности, усталости и, как следствие, надежности изделий. Вследствие этого существенное развитие получили методы численного анализа медицинских объектов — протезов клапанов сердца, стентов, сосудов — на основе методов конечных элементов, позволяющих учитывать их нелинейные характеристики (геометрические, упруго-деформативные, структурные), нагрузки и сложную многокомпонентную форму [5, 6].

Частным случаем тонкостенных цилиндрических оболочек являются протезы периферических и магистральных участков сосудистого русла — полимерные и биологические (алло- и ксенотрансплантаты) трубчатые медицинские изделия, имплантируемые на длительный срок в кровеносное русло. В процессе функционирования сосудистых протезов (графтов) на них действуют разнонаправленные нагрузки — радиальные (кручение) и продольные (растяжение/сжатие), в том числе динамические [7–9]. Современные исследовательские работы во многом не учитывают высокоскоростное нагружение графтов, несмотря на то, что подобные воздействия могут возникать в процессе функционирования, а их результаты — значительно отличаться от квазистатических нагрузок [10, 11].

В связи с этим целью исследования является оценка отклика сосудистого протеза малого диаметра на воздействие высокоскоростной осевой динамической нагрузки, т.е. потери устойчивости.

Материалы и методы

Работа посвящена разработке и апробации численного метода анализа отклика сосудистого графта на моделирование динамической высокоскоростной нагрузки.

Объект исследования. В качестве объекта исследования выбрали сосудистый биодеградируемый графт диаметром 4 мм с толщиной стенки 0,35 мм, изготовленный методом электроспиннинга из смеси сополимера полигидроксибутират/валерат с долей валерата не менее 8% (PHBV, Sigma-Aldrich, США) и поликапролактона с молекулярной массой 80 кДа (PCL, Sigma-Aldrich, США) в хлороформе («Вектон», Россия) [12]. Средний диаметр волокон составил 0,240 мкм, площадь пор — 1,419 мкм², пористость материала — 49,75%. Снаружи исследуемый графт покрыт спиральной армирующей нитью диаметром 0,3 мм, выполненной из аналогичного поликапролактона с молекулярной массой 80 000 методом экструзии.

Трехмерная модель графта. Модель сосудистого графта малого диаметра в условиях трехмерного моделирования представляет собой полый цилиндр постоянного сечения, который объединен со спиралью, выполняющей армирующую функцию. Создание модели осуществляли в среде проектирования NX (Германия), используя инструменты двух- и трехмерного построения объектов. Толщина стенки цилиндрической части составила 0,3 мм, толщина армирующей спирали — 0,3 мм, глубина впайки — 50%, длина исследуемой части графта — 60 мм.

Путем экспорта модели в формат *.step был обеспечен трансфер геометрии в среду инженерного анализа Abaqus/CAE 6.14 (США) для дальнейшего исследования форм и особенностей потери устойчивости. Импортированная модель стала основой для создания тетраэдрической сетки на базе четырехузловых элементов первого порядка интерполяции — четырехгранники, С3D4 (n=181 195 элементов) [13]. Полученная конечно-элементная сетка (рис. 1, а) была использована без изменений на всех этапах: при анализе собственных частот и моделировании задачи потери устойчивости.

---

Рис. 1. Материал исследования: а — объект исследования, сосудистый графт малого диаметра (слева) и трехмерная конечно-элементная модель объекта для расчета (справа); б — постановка эксперимента потери устойчивости: натурного (слева) и численного (справа); УТ — управляющая точка, U3 — продольное перемещение

---

Анализ собственных частот. Для обоснования допустимых критических скоростей нагружения при последующем моделировании и физико-механическом испытании выполняли поиск собственных частот, определяющих возникновение резонансных явлений, т.е. форм потери устойчивости. Решение задачи осуществляли постановкой частотного анализа в среде Abaqus/CAE 6.14 (США) на основе решателя Lanczos с искусственным ограничением максимальной частоты интереса до 1000 Гц. Степени свободы узлов торцевых концов графта связывали с управляющими точками (УТ) — УТ1 и УТ2. Таким образом, граничные условия и нагрузки прикладывали к данным референсным точкам с последующей их передачей через созданное кинематическое ограничение на узлы торцевых секций, связанных с ними. Граничные условия описывали следующим образом: полное ограничение по всем степеням свободы для проксимальной УТ1 (0; 0; 0), а следовательно, и для всех узлов, связанных с ней. Для дистальной УТ2 (0; 0; 60) были выбраны аналогичные ограничения, кроме свободного продольного перемещения:

U (УТ1)_i = 0, i = 1, ..., 6;

U (УТ2)_i = 0, i=1, 2, 4, 5, 6.

Наложение граничных условий и расчетная схема эксперимента представлены на рис. 1.

В литературе [14] показано, что линеаризованная постановка задачи оценки потери устойчивости значительно занижает значения сил, вызывающих данное явление, несмотря на качественную схожесть результатов деформации. В связи с этим в нашей работе был учтен нелинейный отклик системы: упругопластическая модель материала и геометрическая нелинейность. Поведение материала описывали упругопластической моделью с изотропным упрочнением с условием текучести Мизеса и с параметрами, полученными в ранних исследованиях [15] (см. таблицу).

---

Характеристика материалов, использованных в численном расчете

---

Полученные в результате данного анализа значения собственных частот (первые три формы) использовали для расчета скорости нагружения в натурном эксперименте и при моделировании потери устойчивости. Для этого полученную собственную частоту колебаний пересчитывали в период времени (с) и, задавая перемещение траверсы универсальной испытательной машины в 6 мм (10% от длины графта), рассчитывали скорость перемещения (мм/с), которая должна привести к потере устойчивости в той или иной ее форме. Итого в работе были получены три собственные частоты колебаний, т.е. три скорости осевого нагружения графтов, приводящие к возникновению трех форм потери устойчивости.

Физико-механические испытания. Точность результатов численных экспериментов во многом обусловлена качественным подбором характеристик материала и их интерпретацией в модели. Решения описанной задачи осуществляли в условиях одноосного сжатия на универсальной испытательной машине серии Z (Zwick Roell, Германия) в соответствии с ГОСТ ИСО 7198–2013. При испытании использовали датчик силы номиналом 50 Н с погрешностью измерения 1%. Скорость перемещения траверсы — 10 мм/мин, путь — 6 мм, что составляет 10% от длины графта. В работе оценивали качественные и количественные характеристики отклика системы в виде кривых «напряжение–деформация» и «сила–перемещение». Таким образом исследовали квазистатическую (медленную) реакцию графта.

Численное моделирование. Потерю устойчивости оценивали в натурном и численном экспериментах, воспроизводя соответствующие граничные условия (см. рис. 1). Учитывая характер задачи, для численного моделирования потери устойчивости был выбран метод динамики, использующий алгоритм решателя Abaqus/Explicit [16, 17]. Принцип алгоритма заключается в явной схеме интегрирования уравнений, описывающих движение по времени. Технически он выражен в решении уравнения с диагональной матрицей масс каждого элемента:

a = M^–1(P–I),

где а — ускорение узлов модели; М — диагональная матрица масс каждого элемента; Р — внешние силы; I — внутренние силы.

Ввиду особенностей численного решения динамических задач методом конечных элементов, связанных с малым инкрементом по времени для каждого шага, в особенности для высокоточных сеток, в работе использовали искусственное масштабирование масс. При этом значение параметра скалирования подбирали с учетом необходимости соблюдения требования вклада кинетической энергии не более 5% в потенциальную энергию исследуемой системы. Такой подход позволяет контролировать вклад инерциальной составляющей [18, 19].

Результаты

Физико-механические испытания. Результаты на­турного эксперимента квазистатического сжатия исследуемого графта характеризуют зональный отклик системы на прилагаемую нагрузку (рис. 2). Зона эластической обратимой деформации 1 характеризуется резким ростом силы при малом росте деформации. Последующий переход 2 характеризует начало зоны возникновения необратимых изменений в конструкции, т.е. пластической деформации. Резкий рост 3 деформации при малом росте силы характеризует пластическую зону отклика. Полученные кривые «сила–деформация» и «напряжение–деформация» были использованы для определения констант материала при проведении численного моделирования.

---

Рис. 2. Упруго-деформативные свойства исследуемых графтов, полученные в результате натурного эксперимента и численного моделирования подбора материала. Пояснения см. в тексте

---

Численное моделирование

Анализ собственных частот. Показатели собственных частот, полученные в результате первого этапа, составили: 32,9, 43,0 и 83,4 Гц для первых трех форм потери устойчивости (рис. 3).

---

Рис. 3. Формы потери устойчивости I, II и III сосудистого армированного графта, полученные в результате анализа собственных частот

---

Исходя из этих данных, были рассчитаны пороговые значения скорости приложения нагрузки для последующего численного эксперимента с учетом выбранного перемещения 10% (6 мм). С целью моделирования задачи потери устойчивости для каждой из форм были получены следующие скорости: 198,0; 258,6 и 500,8 мм/с.

Моделирование задачи потери устойчивости. Результаты численного анализа потери устойчивости — кривые «сила–деформация» — носили зональный характер распределения силы при росте перемещения в случае значительных скоростей приложения нагрузки: зона эластической деформации 1, зона необратимой пластической деформации 2, потеря устойчивости 3 и последующее резкое снижение несущей способности 4 (рис. 4). Проведение моделирования I, II и III форм потери устойчивости установило пик силы (предельной несущей способности конструкции), который был равен 0,225; 0,211 и 0,152 Н соответственно. Если сравнивать со случаем натурного эксперимента при квазистатическом нагружении, то отклик объекта в нем был стабильнее и максимум создаваемой силы колебался в диапазоне 0,2511–0,2601 Н на всем протяжении зоны необратимых деформаций.

---

Рис. 4. Сравнительный анализ количественных результатов численного моделирования действия динамической нагрузки и квазистатической нагрузки натурного эксперимента: 1 — зона эластической обратимой деформации; 2 — переход в зону пластической необратимой деформации; 3 — потеря устойчивости конструкции; 4 — зона спада несущей способности графта

---

Проведенная серия численных экспериментов продемонстрировала значимые качественное и количественное различия в упруго-деформативном отклике исследуемого сосудистого графта в ответ на приложение квазистатической и динамической нагрузок. Можно выделить две характерные особенности реакции графта при быстром нагружении: 1) выраженную зональность полученных кривых «сила–деформация» и 2) спад максимума силы, т.е. предельной несущей способности, ниже значений «медленной» нагрузки. Такой характер обусловлен ограниченностью скорости реакции материала графта при значительных скоростях сжатия, что особенно наглядно продемонстрировано в случае III формы собственной частоты, при которой скорость достигает экстремальных значений в 500,8 мм/с. Падение максимальной силы, отмеченное во всех трех случаях динамического нагружения, особенно выраженное для скорости III формы, достигает 60,5% от исходного значения.

Обсуждение

Примечательно, что кривая отклика в докритических областях 1 и 2 (см. рис. 4) качественно повторяет характер квазистатического нагружения — эластическая составляющая с выходом на плато необратимой деформации. Важно, что наклон кривой, фактически модуль упругости, в зоне 1 соответствует натурному эксперименту, т.е. эластическая составляющая отклика не претерпевает значимых изменений. Закритические области 3 и 4 качественно отличаются и являются уникальными для такого вида анализа, демонстрируя изменение поведения конструкции — ее значительное ослабление в результате действия динамической нагрузки. Если учитывать требование длительной эксплуатации сосудистого графта в организме пациента (5–10 лет), частота возникновения подобных динамических нагрузок может быть значима [20].

Заключение

Действие динамической нагрузки на полимерный сосудистый графт малого диаметра значительно ослабляет конструкцию и влияет на ее упруго-деформативные характеристики, вызывая более раннюю критическую деформацию, которая способна привести к перекрытию просвета (окклюзии) графта или необратимой деформации, снижающей циклостойкость. В связи с этим прогнозирование и предварительное усиление конструкции являются рекомендуемыми про­цедурами для таких изделий.

Финансирование исследования. Работа выполнена при поддержке комплексной программы фундаментальных научных исследований СО РАН в рамках фундаментальной темы НИИ КПССЗ №0546-2015-0011 «Патогенетическое обоснование разработки имплантатов для сердечно-сосудистой хирургии на основе биосовместимых материалов с реализацией пациент-ориентированного подхода с использованием математического моделирования, тканевой инженерии и геномных предикторов».

Конфликт интересов отсутствует.